Apresentação. Definição das regras por que se vai reger a disciplina. Enquadramento da disciplina no curso de Física. Pré-requisitos. Programa, bibliografia e avaliação de conhecimentos. Aulas teóricas, aulas teórico-práticas e aulas de orientação tutorial.

 

 

Símbolos de Kronecker e de Levi-Civita.

Diferenciação de funções de várias variáveis. Derivada parcial e derivada total. Operador nabla. Gradiente, divergência e rotacional. Derivadas de ordem superior.

 

 

Integral de uma função de várias variáveis. Permuta de operadores de derivação e de integração. Integral de contorno, integral duplo e integral triplo. Mudança de variáveis de integração e jacobiano.

Cálculo variacional. Estacionaridade de uma função de uma variável. Estacionaridade de um funcional e equações de Euler-Lagrange.

 

 

Cálculo variacional. Estacionaridade de uma função de várias variáveis. Condições de ligação. Estacionaridade de funções e funcionais sujeitos a ligações. Método dos multiplicadores de Lagrange.

 

 

Revisão da Mecânica. Cinemática e dinâmica de uma partícula.

 

 

Movimento unidimensional de uma partícula sujeita à acção de um campo de forças independente do tempo. Obtenção da equação do movimento a partir da conservação da energia mecânica. Exemplos para uma força nula, uma força constante e uma força linear.

Campo central e conservação do momento angular. A simetria esférica como condição necessária e suficiente para um campo central ser conservativo.

Dinâmica de uma sistema de partículas. Centro de massa, momento angular e respectivas equações do movimento.

 

 

Energia cinética, energia potencial interna e energia potencial externa de um sistema de partículas. Momento angular e energia cinética no referencial centro de massa.

Princípio fundamental da hidrostática e princípio de Arquimedes.

Equação da continuidade e lei de Bernoulli.

 

 

Efeito da viscosidade no movimento dos fluidos. Lei de Poiseuille. Número de Reynolds.

Dinâmica de um sistema de partículas. Ligações holonómicas e não holonómicas; esclerónomas e reónomas; bilaterais e unilaterais. Exemplos.

 

 

Princípio do trabalho virtual. Princípio de D'Alembert e equações de Lagrange.

 

 

Forças que dependem das velocidades e potencial generalizado. Exemplo da força de Lorentz. Força de atrito em fluidos e função de dissipação de Rayleigh. A energia cinética como função quadrática da velocidades generalizadas.

 

 

Espaço de configuração. Sistemas monogénicos e princípio de Hamilton. Coordenadas cíclicas. Momentos canonicamente conjugados às coordenadas generalizadas.

 

 

Simetria e teoremas de conservação. Simetria mediante uma translação do sistema como um todo e conservação do momento linear. Simetria mediante uma rotação do sistema como um todo e conservação do momento angular.

 

 

Função energia e conservação da função energia. Energia e conservação da energia. Função de dissipação de Rayleigh e potência dissipada.

 

 

Estudo do sistema isolado de duas partículas. Coordenada do centro de massa e coordenada relativa. Eliminação do movimento do centro de massa. Momento angular e energia como integrais primeiros do movimento. Equação do movimento para a coordenada radial. Força eficaz.

 

 

Potencial eficaz. Estudo do problema através da conservação da energia e do momento angular. Problema equivalente a uma dimensão.

 

 

Estudo do problema equivalente a uma dimensão. Gráficos da energia potencial eficaz. Zonas permitidas, zonas proibidas e pontos de retorno. Trajectórias limitadas e não limitadas. Trajectórias circulares: força eficaz, força radial e força centrífuga.

Simetria das trajectórias no espaço a duas dimensões em torno dos pontos de retorno na coordenada radial. Referência ao potencial inversamente proporcional ao cubo da distância à origem.

Obtenção da forma do potencial a partir da forma das trajectórias. Aplicação à interacção gravítica.

 

 

Estudo da forma da trajectória de uma partícula sujeita a um potencial gravítico.

 

 

Estudo da variação temporal da posição de uma partícula, sujeita à acção do potencial gravítico, ao longo da trajectória. Período da órbita elíptica e terceira lei de Kepler. Introdução à teoria das colisões.

 

 

Teoria das colisões. Parâmetro de impacto e ângulo de colisão. Função de deflexão. Secção eficaz diferencial.

 

 

Secção eficaz total. Estudo do processo de colisão com um potencial de repulsão electrostática. Estudo de uma função de deflexão não monótona. Fenómenos de arco-íris, glória e deflexão orbital.

 

 

Definição de corpo rígido e número de graus de liberdade. Sistema de eixos ligado ao corpo rígido. Representação da orientação do sistema de eixos ligado ao corpo rígido através de uma matriz ortogonal.

 

 

Obtenção da matriz rotação em torno do eixo dos zz. Rotação passiva e rotação activa. Transformações próprias e impróprias. Reflexão e inversão. Ângulos de Euler. Teorema de Euler e teorema de Chasles. Diagonalização da matriz rotação e obtenção do eixo de rotação. Traço da matriz rotação e ângulo de rotação. Não comutatividade das rotações finitas.

 

 

Rotações infinitesimais. Vector rotação infinitesimal. Vector e pseudovector. Escalar e pseudoescalar.

 

 

Relação entre as derivadas de um vector em ordem ao tempo relativamente a dois referenciais que rodam um em relação ao outro. Força de Coriolis e aplicações ao movimento de rotação da Terra.

Dinâmica do corpo rígido. Unicidade do vector velocidade angular de rotação do corpo rígido. Relação entre momento angular e velocidade angular de rotação. Tensor de inércia.

 

 

Tensores e pseudotensores. Momentos de inércia e produtos de inércia. Diagonalização do tensor de inércia. Eixos principais de inércia e momentos principais de inércia. Energia cinética de rotação.

 

 

Teorema dos eixos paralelos e teorema dos eixos perpendiculares. Equações de Euler. O pião simétrico e o giroscópio.

Introdução ao formalismo hamiltoniano. Transformações de Legendre e equações de Hamilton.

 

 

Coordenadas cíclicas e referência ao procedimento de Routh. Obtenção das equações de Hamilton a partir de um princípio variacional.

Breve referência às transformações canónicas, ao formalismo de Hamilton-Jacobi e à teoria das perturbações.