Apresentação da cadeira aos alunos. Programa da cadeira e avaliação.

 

 

Pequenas oscilações. Formulação do problema usando o desenvolvimento em série da energia potencial. Casos de sistemas com um grau de liberdade em coordenadas cartesianas e generalizadas (pêndulo simples).

Generalização do problema para N graus de liberdade. Equação de valores próprios para o sistema de osciladores acoplados.

 

 

Revisão da solução do problema de valores próprios de uma matriz real e simétrica e da sua diagonalização. Equação de valores próprios para o problema de pequenas oscilações e propriedades dos seus valores próprios e vectores próprios. Problema de valores próprios equivalente envolvendo apenas a matriz da energia potencial.

 

 

Continuação da aula anterior. Equação de valores próprios para o problema de pequenas oscilações e transformação para os eixos principais. Diagonalização da matriz da energia potencial. Frequências normais, correspondentes coordenadas normais e seu significado. Relação entre os valores iniciais das coordenadas e respectivas velocidades e as amplitudes e fases dos vários movimentos harmónicos simples. Discussão do caso em que o sistema oscila numa das frequências normais: relação entre as amplitudes e fases de vibração de cada grau de liberdade nestas condições.

 

 

Vibrações forçadas. Vibrações transientes e permanentes (soluções da equação homogénea e soluções particulares da equação completa). Efeito de ressonância. Introdução de forças dissipativas.

Solução para as coordenadas normais quando é possível a diagonalização simultânea das matrizes de energia cinética, potencial e do termo dissipativo. Frequência complexa e seu significado.

 

 

Continuação da aula anterior. Caso geral de sistemas de osciladores com forças externas sinusoidais e termos dissipativos. Solução formal das equações de movimento na ausência das vibrações transientes.

Aplicação ao caso de um sistema com um grau de liberdade. Fórmulas para a amplitude e a fase do movimento
harmónico simples como função da frequência da força externa. Apresentação de gráficos feitos no programa Mathematica mostrando a dependência do efeito de ressonância em relação à intensidade do termo dissipativ

 

 

Conclusão da aula anterior.
Relatividade restrita. Transformações de Galileu entre referenciais de inércia e invariância da 2ª lei de Newton: princípio de relatividade de Galileu. Oposição entre este princípio e a covariância das equações de Maxwell. Postulados de Einstein. Relatividade dos intervalos de tempo como consequência do 2º postulado. Acontecimentos e seus intervalos no espaço-tempo. Invariância desses intervalos perante transformações entre referenciais de inércia. Tipos de intervalos e sua representação num diagrama espaço-tempo: cone de luz, futuro e passado de um certo acontecimento.

 

 

Continuação da aula anterior. Dedução das transformações de Lorentz de coordenadas e tempo entre dois referenciais de inércia usando a invariância dos intervalos espaço-tempo, fazendo a analogia com a transformação de coordenadas por rotação de um sistema de eixos, mas usando funções hiperbólicas.
Dedução das fórmulas de contracção de Lorentz e dilatação do tempo. Matriz das transformações de Lorentz. Escrita das transformações de Lorentz entre referenciais de inércia com velocidade relativa arbitrária.

 

 

Continuação da aula anterior. Transformações de Lorentz homogéneas e não-homogéneas: menção do grupo de Poincaré. Uso de duas transformações de Lorentz sucessivas com velocidades relativas segundo o eixo dos xx para deduzir a expressão da transformação de velocidades.

Aplicação de duas transformações de Lorentz sucessivas com velocidades com direcções ligeiramente diferentes. Verificação que a transformação resultante não é uma transformação de Lorentz pura, envolvendo também uma rotação.

 

 

Conclusão da aula anterior. Expressão do ângulo correspondente à rotação mencionada na aula anterior. Aplicação a uma partícula com movimento acelerado. Dedução da expressão da frequência de precessão de Thomas.

Representação gráfica das transformações de Lorentz usando diagramas espaço-tempo. Dedução da representação dos eixos espaço e tempo correspondentes a um referencial de inércia que se desloca em relação a outro. Representação de um acontecimento nos dois sistemas de eixos correspondentes aos dois referenciais de inércia. Linhas de universo. Verificação de que as escalas dos eixos espaço e tempo correspondentes a esses dois referenciais não são iguais e determinação da escala dos eixos transformados usando uma hipérbole de calibração.

 

 

Dedução das expressões de dilatação do tempo e da contracção de Lorentz usando diagramas espaço-tempo.
Tetravectores. Exemplo das coordenadas do espaço-tempo. Índices contravariantes e covariantes. Tensor da
métrica do espaço de Minkowski. Escrita do produto escalar de dois teravectores. Transformação de Lorentz usando índices covariantes e contravariantes.

 

 

Continuação da aula anterior. Verificação de que as componentes covariantes de tetravectores (1-formas)
se transformam de acordo com a transformação inversa de Lorentz. Demonstração de que as componentes do
tetra-gradiente ∂/∂x^μ são covariantes. Produto escalar de tetravectores. Construção de um tensor de 2ª ordem a partir de tetravectores e sua lei de transformação. Construção de tetravectores a partir do tetravector posição x^μ. Tetravector velocidade, tetravector momento e tetravector força de Minkowski.

 

 

Continuação da aula anterior. Verificação de que a energia cinética tem o limite não relativista conhecido.
Tetravector corrente e potencial electromagnético. Escrita das equações de Maxwell de uma forma covariante. Forma covariante da força de Lorentz.

Colisões relativistas. Conservação do tetravector momento linear total nas colisões elásticas. Demonstração
de que esse tetravector é do tipo tempo e a relação desse facto com a existência do sistema de referência "centro do momento".

 

 

Continuação da aula anterior. Referencial de laboratório e de centro do momento (CM). Relação entre a energia cinética da partícula incidente no sistema de laboratório com a energia total no sistema CM. Definição do valor Q de uma reacção. Verificação de que, para um dado valor de Q, a energia mínima necessária para produzir partículas em repouso (situação de "threshold") é maior no sistema do laboratório do que no sistema CM: implicações para a concepção de aceleradores de partículas a altas energias. Dedução da expressão que dá a velocidade do sistema CM em relação ao sistema do laboratório em termos da energia cinética e do momento da partícula incidente nesse sistema.

 

 

Formulação Lagrangiana da mecânica relativista num formalismo não-covariante. Momento canonicamente conjugado e definição do Hamiltoniano. Exemplos de Lagrangianos relativistas: movimento de uma partícula num campo electromagnético e oscilador harmónico a uma dimensão.

Teoria da elasticidade.
Transformações ortogonais e suas propriedades: distinção entre rotações e inversão de um ou três eixos. Escalares, vectores e tensores.
Construção de escalares a partir de vectores e de vectores a partir de escalares usando o gradiente. Distinção entre vectores e pseudo-vectores e escalares e pseudo-escalares. Tensores de 2ª ordem simétricos e anti-simétricos. Diagonalização de um tensor de 2ª ordem simétrico.

 

 

Construção de invariantes perante transformações ortogonais a partir de tensores de 2ª ordem.

Deformação de um elemento de linha a uma dimensão e a três dimensões. Decomposição do elemento de linha deslocado numa parte de translação, rotação e de deformação. Definição do tensor de deformações para deformações infinitesimais.

 

 

Eixos principais do tensor de deformações e valores próprios do tensor das deformações. Significado físico do traço do tensor das deformações e das componentes diagonais e fora da diagonal desse tensor (deformações de cisalhamento). Exemplo para uma deformação isotrópica e homogénea que resulta de um campo de deslocamentos com a direcção do eixo dos xx e que depende linearmente de y. Rotação associada a este deslocamento. Condições de compatibilidade do tensor das deformações.