Apresentação do programa da disciplina, indicações bibliográficas e critérios de avaliação.

 

 

Introdução. Transformação de coordenadas. Matriz de rotação e suas propriedades. Escalares, vectores e tensores e suas leis de transformação.

 

 

Diferenciação e derivação de vectores e de escalares. Derivadas de escalares e vectores relativamente a um escalar. Exemplos.

O operador gradiente, sua aplicação à Física e significado. Vários exemplos. Gradiente, divergência e laplaciano. Integração de vectores. Teoremas de Stokes e de Gauss.

 

 

Introdução e considerações genéricas. As leis de Newton – comentários sobre o seu significado físico, em particular sobre a terceira lei. Definição operacional de massa inercial a partir da 3ª lei. As massas gravitacional e inercial e o príncipio da equivalência.

 

 

Continuação do assunto da aula anterior. A 3ºa lei de newton e alei de conservação do momento linear. Discussão do significado físico do príncipio da equivalência a partir de vários exemplos. Referenciais inerciais e não inerciais. O referencial em queda livre e sua importância e significado.

Equação de movimento de uma partícula. Exemplos. Introdução ao estudo de forças retardadoras.

 

 

Forças retardadoras. Expressão de Prandtl para a resistência do ar. Análise e discussão de diversos exemplos: movimento de um grave sujeito à resitência do ar, em movimento horizontal ou vertical; referência ao movimento de um projectil com e sem resistência do ar.

 

 

Continuação do assunto da aula anterior. Teoremas e leis de conservação: momento linear, momento angular e energia mecânica. Os conceitos de energia cinética e potencial.

 

 

Análise de curvas de energia potencial. Equílibrio estável e instável. Análise de exemplos concretos.

 

 

Gravitação. Introdução: a lei da gravitação universal, breve referência histórica e discussão do seu significado físico. Campo e potencial gravitacionais para distribuições discretas e contínuas de fontes.

 

 

Exemplo: cálculo do potencial gravitacional no interior e no exterior de uma coroa esférica de densidade constante.

 

 

Estudo das marés. Interpretação do seu mecanismo com base na lei da gravitação universal.

Introdução histórica sobre a evolução dos conceitos e teorias que culmina com a lei da gravitação universal. A capacidade de previsão e de explicação desta lei.

 

 

Introdução: definição de campo de forças centrais. Conceito de massa reduzida e sua utilidade. Exemplos de campos de forças centrais conservativos. Princípios de conservação e primeiros integrais de movimento

 

 

Princípios de conservação e primeiros integrais de movimento. Conservação do momento angular e lei das áreas. Conservação da energia e equação das órbitas.

 

 

Equivalência deste problema a um problema unidimensional e classificação das órbitas. Exemplos de cálculo de equações de órbitas: órbitas de um corpo sob a acção de um potencial do tipo gravitacinal. Análise e discussão do resultado.

 

 

Revisões sobre a matéria dada nas últimas aulas.

 

 

O problema de Kepler. Estudo de diversos tipos de órbitas planetárias. A órbita elíptica e a terceira lei de Kepler. Equação do movimento em função da força central.

 

 

Exercícios de aplicação da matéria dada nas últimas aulas.

 

 

Introdução: forças internas e externas; o papel da terceira lei de Newton na abordagem deste problema. Centro de massa, exemplo de cálculo para uma distribuição contínua. Momento linear de um sistema de particulas. Momento angular de um sistema de partículas.

 

 

A variação temporal do momento angular e o momento das forças externas. Conservação do momento angular na ausência de forças externas. Energia de um sistema de partículas. Contribuição para a energia cinética total do sistema da energia cinética do centro de massa e da energia das partículas relativamente ao centro de massa. A energia potencial de um sistema de partículas. Conservação da energia para um sistema sujeito a forças conservativas.

 

 

Colisões. Introdução ao problema. Colisão de duas partículas no sistema de Laboratório e no sistema do Centro de Massa. Relações entre as velocidades e ângulos de dispersão nos dois sistemas. Introdução ao estudo de secções eficazes.

 

 

Secção eficaz diferencial. Fórmula genérica da secção eficaz diferencial no sistema do Centro de massa. Dedução da fórmula de Rutherford. Discussão do resultado.

 

 

Formulação do problema – determinar a função que extrema o integral de uma funcional – e utilidade da sua resolução. Dedução das equações de Euler. As equações de Euler com equações de ligação: os multiplicadores de Lagrange.

 

 

Continuação do assunto da aula anterior. O exemplo da braquístocrona.

 

 

Introdução: a utilidade de novas formulações da mecânica newtoniana e suas aplicações. Breve história sobre os princípios de minímo. O princípio de Hamilton. Definição de lagrangiano. As equações de Lagrange a partir do princípio de Hamilton. Exemplos.

 

 

Noção de coordenadas generalizadas e sua importância. Exemplos. As equações de Lagrange em coordenadas generalizadas. O espaço das configurações.

 

 

Exemplos de resolução de vários problemas, com equações de ligação, utilizando as equações de Lagrange em coordenadas generalizadas, com ou sem multiplicadores de Lagrange.

(Em substituição da aula de 28/10/05)

 

 

O pêndulo esférico: estudo a partir do fomalismo lagrangiano. Obtenção das equações de movimento, identificação das constantes de movimento e cálculo da frequência das pequenas oscilações.

 

 

Resumo dos principais conceitos inerentes às equações de Lagrange. Utilidade dos multiplicadores de Lagrange e significado físico das forças generalizadas. Exemplos.

Equivalência entre as equações de Newton e as equações de Lagrange.

 

 

Continuação do assunto da aula anterior. Relação entre grandezas físicas em coordenadas cartesianas e em coordenadas generalizadas: o exemplo da energia cinética.

 

 

Invariâncias do lagrangiano e leis de conservação: energia, momento linear e momento angular.

 

 

Noções de dinâmica hamiltoniana. Coordenadas canónicas. Dedução das equações de Hamilton. Considerações sobre a utilidade deste formalismo.

 

 

Considerações genéricas. Descrição do movimento de uma partícula relativamente a um sistema de laboratório (inercial) e a um sistema rotativo (não inercial) Expressão geral da velocidade. Forças inerciais: a força centrífuga e a força de Coriolis. Discussão de alguns exemplos.

 

 

Introdução: definição de corpo rígido, o corpo rígido como uma abstração útil. Considerações sobre a descrição do movimento do corpo rígido, o teorema de Chasles. O tensor de inércia. A energia cinética de translação e de rotação. Exemplo do cálculo para o caso de um cubo homógeneo.

 

 

Abertura solene das aulas.

 

 

O momento angular do corpo rígido. Expressão do momento angular em função do tensor de inércia e da energia cinética de rotação em função do momento angular e da velocidade angular. Eixos principais de inércia – definição e cálculo destes eixos, através da diagonalização do tensor de inércia. Aplicação ao caso do cubo homogéneo anteriormente estudado. Discussão do resultado.

 

 

Momentos de inércia para diferentes sistemas de coordenadas do corpo rígido. Teorema de Steiner. Lei de transformação do tensor de inércia. Comentários sobre as diferentes formas de obter os eixos principais de inércia. Propriedades dos eixos princiais de inércia. Exemplo de aplicação: cálculo da frequência das pequenas oscilações de um pêndulo constituído por duas massas e uma barra rígida.

 

 

Ângulos de Euler. Rotações geradoras dos ângulos de Euler. Expressão da velocidade angular no sistema do corpo, em função dos âgulos de Euler e suas derivadas temporais. Equações de Euler para um corpo rígido. Equações de movimento para um corpo livre de forças e na presença de forças.

 

 

Exemplos de aplicação da matéria dada nas últimas aulas.

 

 

Revisões. Resolução de problemas da folha nº 5